/33

phuong trinh nghiem nguyen

Upload: VuDinhMinh.dokovn|Ngày: 18/07/2013|Lượt xem: 214|Tải về: 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUYÊN Tác Giả : Thái Thuận 10 chuyên Toán THPT chuyên THĐ ; Phan Thiết ; Bình Thuận Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước . Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản ) Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy Vũ Hữu Bình . Phương Pháp 1 Áp Dụng Tính Chia Hết Dạng 1 :phương trình dạng  Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải: Có thể dễ dàng thấy chẵn . Đặt . Phương trình trở thành :  Từ đó ta có nghiệm phương trình này :  Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên . Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn Ta dựa vào định lí sau : Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức :  Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình ) Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình . Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào . Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) . Ngoài ra còn có thêm phương pháp hàm Euler . Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số : Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải :       Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên . Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải : là số chưa biết ; sẽ đc xác định sau . Xét phương trình :   Chọn    Từ đó ta có phương trình ước số :  Dạng 3:Phương pháp tách các giá trị nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải :     Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế ) Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau : số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư  Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải:    Còn  Do đó phương trình trên vô nghiệm. Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương....... Ta đến với Ví Dụ sau : Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :  Giải: Dễ thấy  Mặt khác :  chẵn thì ; lẻ thì   Còn ( vô lí) Do đó phương trình trên vô nghiệm. Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau : Ví Dụ 7 :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Giải:  ( vô lí) Do đó phương trình này vô nghiệm. Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào. Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán. Nói thêm : Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo thường dùng là vì ( hãy tự chứng minh ) Ta xét Ví Dụ sau . Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :  Dựa vào nhận xét trên :  Còn ( vô lí). Do đó phương trình trên vô nghiệm . Phương Pháp 3 : Dùng Bất Đẳng Thức Dạng 1 : Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến . Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :  Giải : Không mất tính tổng quát